如何证明矩阵等价？
2021-03-24
一、矩阵等价、相似和合同之间的区别：
1、等价，相似和合同三者都是等价关系。
2、矩阵相似或合同必等价，反之不一定成立。
3、矩阵等价，只需满足两矩阵之间可以通过一系列可逆变换，也即若干可逆矩阵相乘得到。
4、矩阵相似，则存在可逆矩阵P使得，AP=PB。
5、矩阵合同，则存在可逆矩阵P使得，P^TAP=B。
6、当上述矩阵P是正交矩阵时，即PT=P(-1)，则有A，B之间既满足相似，又满足合同关系。
二、矩阵等价、相似、合同之间联系：
1、矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件，相似、合同、等价是等秩的充分条件。
2、矩阵等价是相似、合同的必要条件，相似、合同是等价的充分条件。
3、 矩阵相似、合同之间没有充要关系，存在相似但不合同的矩阵，也存在合同但不相似的矩阵。
4、总结起来就是：相似=>等价，合同=>等价，等价=>等秩。
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