Macaulay久期就是从当前时刻至到期日之间所有现金流流入的加权平均时间间隔。

债券价格B=∑Ci·e^(-y·Ti)

其中Ci表示各付息日Ti的现金流入 y表示连续复利计算的到期收益率

将B对y求导并除以B取负号就得到了麦考利久期

D=-dB/dy·1/B=∑[Ci·e^(-y·Ti)]·Ti/B

当收益率有一微小的变动△y时

B（y）在y.处一阶泰勒展开为B（y.+△y）=B(y.)+dB/dy·△y

则△B/B=dB/dy·1/B·△y

由D=-dB/dy·1/B得△B/B=-D·△y

当△y较大时，需要对B（y）在y.处二阶泰勒展开：

B（y.+△y）=B(y.)+dB/dy·△y+1/2·d²B/dy²·(△y)²

△B/B=dB/dy·1/B·△y+1/2·1/B·d²B/dy²·(△y)²

凸度C=1/B·d²B/dy²

代入得到△B/B=-D·△y+1/2·C·(△y)²