同底数幂的乘法：底数不变,指数相加。

同底数幂的除法：底数不变,指数相减。

幂的乘方：底数不变,指数相乘。

积的乘方：等于各因数分别乘方的积。

商的乘方（分式乘方）：分子分母分别乘方,指数不变。

由于x大于0是对α的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在各象限的各自情况。可以看到：

特殊性：幂函数的单调区间

（1）所有的图像都通过（1，1）这点.（α≠0） α>0时 图象过点（0，0）和（1，1）。

（2）单调区间：

当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

①当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。

②当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。

幂函数的单调区间（当a为分数时）

③当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

④当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

当α为分数时（且分子为1），α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：

①当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增。

②当α>0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递增。

③当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减。

④当α<0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

（3）当α>1时，幂函数图形下凹（竖抛）。

当0<α<1时，幂函数图形上凸（横抛）。

（4）在（0,1）上，幂函数中α越大，函数图像越靠近x轴；在（1，﹢∞）上幂函数中α越大，函数图像越远离x轴。

（5）当α<0时，α越小，图形倾斜程度越大。

（6）显然幂函数无界限。